2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \le x \le 3$ のとき最小値が1になる。このときの $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \le x \le 3$ のとき最小値が1になる。このときの $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ を平方完成します。

$y = x^2 - 3x + c = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + c = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + c$

この2次関数のグラフは下に凸な放物線であり、軸は $x = \frac{3}{2}$ です。

定義域 $1 \le x \le 3$ において、軸 $x = \frac{3}{2}$ が定義域に含まれているため、頂点で最小値をとります。

最小値は $y = - \frac{9}{4} + c$ となります。

問題文より、最小値が1であるため、

$- \frac{9}{4} + c = 1$

この方程式を解いて $c$ の値を求めます。

$c = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

$c = \frac{13}{4}$