数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。 (1) $a_3$, $a_4$, $a_5$ を求めよ。 (2) $x$, $y$ についての1次不定方程式 $a_5x + a_4y = 1$ の整数解をすべて求めよ。 (3) すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ と $a_{n+1}$ が互いに素であることを示せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。

(1) $a_3$, $a_4$, $a_5$ を求めよ。

(2) $x$, $y$ についての1次不定方程式 $a_5x + a_4y = 1$ の整数解をすべて求めよ。

(3) すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ と $a_{n+1}$ が互いに素であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の漸化式 $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n$ を用いて、$a_3, a_4, a_5$ を計算する。

$a_3 = 2a_2 + a_1 = 2(2) + 1 = 5$

$a_4 = 2a_3 + a_2 = 2(5) + 2 = 12$

$a_5 = 2a_4 + a_3 = 2(12) + 5 = 29$

(2) $a_5x + a_4y = 1$ は $29x + 12y = 1$ となる。

特殊解を求めるために、ユークリッドの互除法を用いる。

$29 = 2 \cdot 12 + 5$

$12 = 2 \cdot 5 + 2$

$5 = 2 \cdot 2 + 1$

したがって、

$1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 2(12 - 2 \cdot 5) = 5 \cdot 5 - 2 \cdot 12 = 5(29 - 2 \cdot 12) - 2 \cdot 12 = 5 \cdot 29 - 12 \cdot 12$

よって、 $29(5) + 12(-12) = 1$ となるので、特殊解は $(x, y) = (5, -12)$ である。

一般解は $29(x - 5) + 12(y + 12) = 0$ より、

$29(x - 5) = -12(y + 12)$

$x - 5 = 12k$, $y + 12 = -29k$ (kは整数)

$x = 12k + 5$, $y = -29k - 12$

(3) 数学的帰納法を用いる。

(i) $n = 1$ のとき、$a_1 = 1, a_2 = 2$ であり、gcd($a_1, a_2$) = gcd(1, 2) = 1 なので、$a_1$ と $a_2$ は互いに素である。

(ii) $n = k$ のとき、$a_k$ と $a_{k+1}$ が互いに素であると仮定する。つまり、gcd($a_k, a_{k+1}$) = 1。

(iii) $n = k+1$ のとき、$a_{k+1}$ と $a_{k+2}$ が互いに素であることを示す。

$a_{k+2} = 2a_{k+1} + a_k$ より、$a_k = a_{k+2} - 2a_{k+1}$

gcd($a_{k+1}, a_{k+2}$) = gcd($a_{k+1}, a_{k+2} - 2a_{k+1}$) = gcd($a_{k+1}, a_k$) = 1

よって、$a_{k+1}$ と $a_{k+2}$ は互いに素である。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ と $a_{n+1}$ は互いに素である。

3. 最終的な答え

(1) $a_3 = 5$, $a_4 = 12$, $a_5 = 29$

(2) $x = 12k + 5$, $y = -29k - 12$ (kは整数)

(3) すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ と $a_{n+1}$ は互いに素である。