$2a = 8 + b$

## 問題 (6)

数列 $8, a, b$ が等差数列であり、数列 $a, b, 36$ が等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

## 解き方の手順

1. 等差数列 $8, a, b$ について、等差中項の関係から、$2a = 8 + b$ が成り立ちます。

$2a = 8 + b$

2. 等比数列 $a, b, 36$ について、等比中項の関係から、$b^2 = 36a$ が成り立ちます。

$b^2 = 36a$

3. 連立方程式を解きます。まず、1番目の式から $b = 2a - 8$ となります。これを2番目の式に代入します。

$(2a - 8)^2 = 36a$

$4a^2 - 32a + 64 = 36a$

$4a^2 - 68a + 64 = 0$

$a^2 - 17a + 16 = 0$

4. 2次方程式を解きます。

$(a - 1)(a - 16) = 0$

$a = 1, 16$

5. $a$ の値に対応する $b$ の値を求めます。

* $a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 8 = -6$

* $a = 16$ のとき、$b = 2(16) - 8 = 24$

6. それぞれの $a$ と $b$ の組が条件を満たすか確認します。

* $a=1, b=-6$ のとき、数列 $8, 1, -6$ は公差 -7 の等差数列、数列 $1, -6, 36$ は公比 -6 の等比数列となり、条件を満たします。

* $a=16, b=24$ のとき、数列 $8, 16, 24$ は公差 8 の等差数列、数列 $16, 24, 36$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列となり、条件を満たします。

## 最終的な答え

$a = 1, b = -6$ または $a = 16, b = 24$

## 問題 (7)

初項が 3 で、階差数列 $b_n = 2n + 1$ である数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

## 解き方の手順

1. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $b_n = 2n + 1$ であることから、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

が成り立ちます。

2. $\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

3. $a_n$ の式に代入します。

$a_n = 3 + n^2 - 1 = n^2 + 2$

4. $n = 1$ のときもこの式が成り立つか確認します。

$a_1 = 1^2 + 2 = 3$

初項と一致するので、この式は $n = 1$ のときも成り立ちます。

## 最終的な答え

$a_n = n^2 + 2$