問題10と11は、与えられた数式を計算して、簡単な形にすることです。問題10は、平方根の加減算です。問題11は、平方根を含む式の展開と計算です。

1. 問題の内容

問題10と11は、与えられた数式を計算して、簡単な形にすることです。問題10は、平方根の加減算です。問題11は、平方根を含む式の展開と計算です。

2. 解き方の手順

問題10

(1) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$を共通因数としてまとめる。

$(5 - 2 + 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{72}$

$\sqrt{32}$と$\sqrt{72}$を簡単にする。

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = (1 + 4 - 6)\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

(3) $(5\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) - (2\sqrt{2} + \sqrt{3})$

括弧を外す。

$5\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \sqrt{3}$

$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$の項をそれぞれまとめる。

$(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 3\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$

(4) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{6}) - (\sqrt{96} - \sqrt{45})$

$\sqrt{96}$と$\sqrt{45}$を簡単にする。

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

したがって、

$(2\sqrt{5} + 3\sqrt{6}) - (4\sqrt{6} - 3\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 3\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$と$\sqrt{6}$の項をそれぞれまとめる。

$(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (3\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) = 5\sqrt{5} - \sqrt{6}$

問題11

(1) $(4\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$

展開する。

$4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 8 \cdot 2 - 4\sqrt{10} + 6\sqrt{10} - 3 \cdot 5$

$16 + 2\sqrt{10} - 15 = 1 + 2\sqrt{10}$

(2) $(2\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 3\sqrt{6})$

展開する。

$2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6} = 2 \cdot 3 + 6\sqrt{18} - \sqrt{18} - 3 \cdot 6$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$6 + 6 \cdot 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 18 = 6 + 18\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 18 = -12 + 15\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$

(4) $(\sqrt{6} - 2)^2$

$(\sqrt{6} - 2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

問題10

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $-\sqrt{2}$

(3) $3\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$

(4) $5\sqrt{5} - \sqrt{6}$

問題11

(1) $1 + 2\sqrt{10}$

(2) $-12 + 15\sqrt{2}$

(3) $10 + 2\sqrt{21}$

(4) $10 - 4\sqrt{6}$