与えられた行列の第2列に関する余因子展開を計算する。行列は $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} $ である。

1. 問題の内容

与えられた行列の第2列に関する余因子展開を計算する。行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 3 \\

1 & 3 & -2 \\

0 & 6 & 5

\end{pmatrix}

$$

である。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を

$$

A = \begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{pmatrix}

$$

とすると、第 $j$ 列に関する余因子展開は

$$

\det(A) = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} C_{ij}

$$

で与えられる。ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分に関する余因子であり、$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ で計算される。$M_{ij}$ は $(i, j)$ 成分を取り除いた小行列式である。

与えられた行列では、第2列に関する余因子展開を計算する。すなわち、$j=2$である。

$$

\det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}

$$

$$

= 1 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{22} + 6 \cdot C_{32}

$$

余因子を計算する。

$$

C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^3 \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 5 - (-2) \cdot 0) = -5

$$

$$

C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (-1)^4 \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 5 - 3 \cdot 0) = 10

$$

$$

C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = (-1)^5 \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) = -1 \cdot (-4 - 3) = 7

$$

したがって、

$$

\det(A) = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot (10) + 6 \cdot (7) = -5 + 30 + 42 = 67

$$

3. 最終的な答え

67