与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算します。行列は $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算します。行列は

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の行列式を第 $j$ 列に関する余因子展開で求める公式は次の通りです。

$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij}$

ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の要素、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ は $a_{ij}$ の余因子、$M_{ij}$ は $a_{ij}$ を含む行と列を取り除いた小行列の行列式（小行列式）です。

今回の問題では、第2列（$j=2$）に関する余因子展開を行うので、$i=1, 2, 3$ について計算します。

まず、小行列式を計算します。

$M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (-2)(0) = 5$

$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (3)(0) = 10$

$M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (3)(1) = -4 - 3 = -7$

次に、余因子を計算します。

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)^{3}(5) = -5$

$C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = (-1)^{4}(10) = 10$

$C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = (-1)^{5}(-7) = 7$

最後に、行列式を計算します。

$\det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32} = (1)(-5) + (3)(10) + (6)(7) = -5 + 30 + 42 = 67$

3. 最終的な答え

67