等差数列 $\{a_n\}$ において、 $a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = 365$ $a_{15} + a_{17} + a_{19} = -6$ が成り立つとき、 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、

$a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = 365$

$a_{15} + a_{17} + a_{19} = -6$

が成り立つとき、

(1) この等差数列の初項と公差を求めよ。

(2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公差を $d$ とする。

$a_n = a + (n-1)d$ が成り立つ。

$a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = 365$ より

$(a+9d) + (a+10d) + (a+11d) + (a+12d) + (a+13d) = 365$

$5a + 55d = 365$

$a + 11d = 73$ ...(1)

$a_{15} + a_{17} + a_{19} = -6$ より

$(a+14d) + (a+16d) + (a+18d) = -6$

$3a + 48d = -6$

$a + 16d = -2$ ...(2)

(2) - (1) より

$5d = -75$

$d = -15$

(1) に代入して

$a + 11(-15) = 73$

$a - 165 = 73$

$a = 238$

したがって、初項は $238$、公差は $-15$ である。

(2) $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$ より

$S_n = \frac{n}{2} (2(238) + (n-1)(-15))$

$S_n = \frac{n}{2} (476 - 15n + 15)$

$S_n = \frac{n}{2} (491 - 15n)$

$S_n = \frac{491}{2}n - \frac{15}{2}n^2$

$S_n = -\frac{15}{2} (n^2 - \frac{491}{15}n)$

$S_n = -\frac{15}{2} ((n - \frac{491}{30})^2 - (\frac{491}{30})^2)$

$S_n = -\frac{15}{2} (n - \frac{491}{30})^2 + \frac{15}{2} (\frac{491}{30})^2$

$n$ が整数のとき、$S_n$ が最大になるのは $n$ が $\frac{491}{30} \approx 16.37$ に最も近い整数であるときなので、$n=16$ または $n=17$ のときである。

$S_{16} = \frac{16}{2}(491 - 15(16)) = 8(491-240) = 8(251) = 2008$

$S_{17} = \frac{17}{2}(491 - 15(17)) = \frac{17}{2}(491-255) = \frac{17}{2}(236) = 17(118) = 2006$

よって、$S_n$ の最大値は $2008$ である。

3. 最終的な答え

(1) 初項: 238, 公差: -15

(2) $S_n$ の最大値: 2008