与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算します。 行列は $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算します。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 3 \\

1 & 3 & -2 \\

0 & 6 & 5

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

3x3行列の第2列に関する余因子展開は、次の式で表されます。

$$

det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}

$$

ここで、$a_{ij}$は行列Aのi行j列の要素、$C_{ij}$は要素$a_{ij}$に対応する余因子です。余因子は次の式で計算されます。

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

$$

ここで、$M_{ij}$は小行列式であり、行列Aからi行とj列を取り除いた行列の行列式です。

したがって、与えられた行列の行列式は次のように計算できます。

$a_{12} = 1$、　$M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (-2)(0) = 5$。 $C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)(5) = -5$

$a_{22} = 3$、　$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (3)(0) = 10$。 $C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = (1)(10) = 10$

$a_{32} = 6$、　$M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (3)(1) = -4 - 3 = -7$。 $C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = (-1)(-7) = 7$

行列式は、

$det(A) = (1)(-5) + (3)(10) + (6)(7) = -5 + 30 + 42 = 67$

3. 最終的な答え

67