与えられた2つの数列の和 $S_n$ を求める問題です。 (1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ (2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \cdots + (2n-1) \cdot r^n$ (ただし、$r \neq 1$)

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和 $S_n$ を求める問題です。

(1) $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

(2) $S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \cdots + (2n-1) \cdot r^n$ (ただし、$r \neq 1$)

2. 解き方の手順

(1) の場合

$S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

両辺に3を掛けると

$3S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S_n - 3S_n$ を計算すると

$-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

等比数列の和の公式 $a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いると

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって

$-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$S_n = -\frac{1}{2} \left(\frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n\right) = \frac{1}{4}(2n-1)3^n + \frac{1}{4}$

(2) の場合

$S_n = 1 \cdot r + 3 \cdot r^2 + 5 \cdot r^3 + 7 \cdot r^4 + \cdots + (2n-1) \cdot r^n$

両辺に $r$ を掛けると

$rS_n = 1 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + 5 \cdot r^4 + \cdots + (2n-3) \cdot r^n + (2n-1) \cdot r^{n+1}$

$S_n - rS_n$ を計算すると

$(1-r)S_n = r + 2r^2 + 2r^3 + 2r^4 + \cdots + 2r^n - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = r + 2r^2(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-2}) - (2n-1)r^{n+1}$

等比数列の和の公式を用いると

$1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-2} = \frac{r^{n-1}-1}{r-1}$

したがって

$(1-r)S_n = r + 2r^2 \frac{r^{n-1}-1}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = r + \frac{2r^{n+1} - 2r^2}{r-1} - (2n-1)r^{n+1}$

$(1-r)S_n = \frac{r(r-1) + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+1}(r-1)}{r-1}$

$(1-r)S_n = \frac{r^2-r + 2r^{n+1} - 2r^2 - (2n-1)r^{n+2} + (2n-1)r^{n+1}}{r-1}$

$(1-r)S_n = \frac{-r^2-r + (2n)r^{n+1}-(2n-1)r^{n+2}-r^{n+1}}{r-1}$

$(1-r)S_n = \frac{-r-r^2 + r^{n+1}(2n+1) - r^{n+2}(2n-1)}{r-1}$

$S_n = \frac{-r-r^2 + r^{n+1}(2n+1) - r^{n+2}(2n-1)}{(r-1)(1-r)}$

$S_n = \frac{r+r^2 - r^{n+1}(2n+1) + r^{n+2}(2n-1)}{(r-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{(2n-1)3^n+1}{4}$

(2) $S_n = \frac{r+r^2 - (2n+1)r^{n+1} + (2n-1)r^{n+2}}{(r-1)^2}$