与えられた行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

第2列に関する余因子展開は以下の式で表されます。

$det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}$

ここで、$a_{ij}$ は行列Aの(i,j)成分、$C_{ij}$ は(i,j)成分の余因子です。余因子$C_{ij}$は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$で計算できます。$M_{ij}$は小行列式であり、行列Aからi行とj列を取り除いた行列の行列式です。

まず、$a_{12}$, $a_{22}$, $a_{32}$を確認します。

$a_{12} = 1$

$a_{22} = 3$

$a_{32} = 6$

次に、それぞれの余因子を計算します。

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)^3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -1 * (1*5 - (-2)*0) = -5$

$C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = (-1)^4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 1 * (2*5 - 3*0) = 10$

$C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = (-1)^5 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1 * (2*(-2) - 3*1) = -1 * (-4 - 3) = 7$

したがって、行列式は次のようになります。

$det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32} = 1*(-5) + 3*10 + 6*7 = -5 + 30 + 42 = 67$

3. 最終的な答え

67