与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、第2列に関する余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

第2列に関する余因子展開は、次のように計算されます。

$\det(A) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}$

ここで、$a_{ij}$ は行列Aの(i, j)成分、$C_{ij}$は(i, j)余因子を表します。

余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ で計算されます。ただし、$M_{ij}$は(i, j)小行列式です。

まず、各余因子を計算します。

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 5 - (-2) \cdot 0) = -5$

$C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = (-1)^{4} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 5 - 3 \cdot 0) = 10$

$C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = (-1)^{5} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) = -1 \cdot (-4 - 3) = 7$

次に、余因子展開の式に代入します。

$\det(A) = 1 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{22} + 6 \cdot C_{32} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 10 + 6 \cdot 7 = -5 + 30 + 42 = 67$

3. 最終的な答え

67