問題は、与えられた式 $S - 4S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$ から始まり、$S$ の値を求めるものです。等比数列の和の公式と代数的な操作を用いて、$S$ を $n$ の式で表します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $S - 4S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$ から始まり、$S$ の値を求めるものです。等比数列の和の公式と代数的な操作を用いて、$S$ を $n$ の式で表します。

2. 解き方の手順

まず、$S-4S$ を計算し、$-3S$ とします。

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}$ は初項 1、公比 4、項数 n の等比数列の和なので、公式より $\frac{4^n - 1}{4-1} = \frac{4^n - 1}{3}$ となります。

したがって、$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$ となります。

右辺を整理します。

$-3S = \frac{4^n - 1 - 3n \cdot 4^n}{3} = \frac{(1-3n)4^n - 1}{3}$

両辺を $-3$ で割ります。

$S = \frac{(1-3n)4^n - 1}{3 \cdot (-3)} = \frac{(1-3n)4^n - 1}{-9} = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$