数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、どちらも初項が6、第2項が3、第3項が2である。 (1) $c_n = a_{n+1} - a_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) とおくとき、数列 $\{c_n\}$ が等差数列であるときの $a_n$ を求める。 (2) $d_n = b_{n+1} - b_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) とおくとき、数列 $\{d_n\}$ が等比数列であるときの $b_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、どちらも初項が6、第2項が3、第3項が2である。

(1) $c_n = a_{n+1} - a_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) とおくとき、数列 $\{c_n\}$ が等差数列であるときの $a_n$ を求める。

(2) $d_n = b_{n+1} - b_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) とおくとき、数列 $\{d_n\}$ が等比数列であるときの $b_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 = 6$, $a_2 = 3$, $a_3 = 2$ である。

$c_n = a_{n+1} - a_n$ とおくとき、数列 $\{c_n\}$ が等差数列であるから、$c_2 - c_1 = c_3 - c_2$ が成り立つ。

$c_1 = a_2 - a_1 = 3 - 6 = -3$

$c_2 = a_3 - a_2 = 2 - 3 = -1$

$c_3 = a_4 - a_3$

等差数列の条件より、

$c_2 - c_1 = c_3 - c_2$

$-1 - (-3) = c_3 - (-1)$

$2 = c_3 + 1$

$c_3 = 1$

$a_4 - a_3 = 1$

$a_4 - 2 = 1$

$a_4 = 3$

数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1 = -3$、公差 $2$ の等差数列なので、

$c_n = c_1 + (n-1)d = -3 + (n-1)2 = 2n - 5$

$a_{n+1} - a_n = 2n - 5$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 5) = 6 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - 5\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 6 + 2 \frac{(n-1)n}{2} - 5(n-1) = 6 + n^2 - n - 5n + 5 = n^2 - 6n + 11$

(2)

数列 $\{b_n\}$ について、$b_1 = 6$, $b_2 = 3$, $b_3 = 2$ である。

$d_n = b_{n+1} - b_n$ とおくとき、数列 $\{d_n\}$ が等比数列であるから、$d_2 / d_1 = d_3 / d_2$ が成り立つ。

$d_1 = b_2 - b_1 = 3 - 6 = -3$

$d_2 = b_3 - b_2 = 2 - 3 = -1$

$d_3 = b_4 - b_3$

等比数列の条件より、

$d_2 / d_1 = d_3 / d_2$

$(-1) / (-3) = d_3 / (-1)$

$1/3 = -d_3$

$d_3 = -1/3$

$b_4 - b_3 = -1/3$

$b_4 - 2 = -1/3$

$b_4 = 5/3$

数列 $\{d_n\}$ は初項 $d_1 = -3$、公比 $1/3$ の等比数列なので、

$d_n = d_1 r^{n-1} = -3 (1/3)^{n-1} = -3 \cdot 3^{1-n} = -3^{2-n}$

$b_{n+1} - b_n = -3^{2-n}$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3^{2-k}) = 6 - \sum_{k=1}^{n-1} 3^{2-k} = 6 - \sum_{k=1}^{n-1} 9 \cdot (1/3)^k = 6 - 9 \sum_{k=1}^{n-1} (1/3)^k$

$= 6 - 9 \frac{(1/3)(1 - (1/3)^{n-1})}{1 - 1/3} = 6 - 9 \frac{(1/3)(1 - 3^{1-n})}{2/3} = 6 - 9 \frac{1}{2} (1 - 3^{1-n}) = 6 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} 3^{1-n} = \frac{3}{2} + \frac{3^{3-n}}{2} = \frac{3+3^{3-n}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 6n + 11$

(2) $b_n = \frac{3+3^{3-n}}{2}$