実数 $x$ を要素とする集合 $A$ と $B$ が与えられています。 $A = \{x \mid 0 < x < 2, x は実数\}$ $B = \{x \mid 1 \leq x \leq 4, x は実数\}$ これらの集合について、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$

1. 問題の内容

実数 $x$ を要素とする集合 $A$ と $B$ が与えられています。

$A = \{x \mid 0 < x < 2, x は実数\}$

$B = \{x \mid 1 \leq x \leq 4, x は実数\}$

これらの集合について、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分を表します。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$0 < x < 2$ かつ $1 \leq x \leq 4$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$0 < x < 2$ と $1 \leq x \leq 4$ を数直線上に図示すると、$1 \leq x < 2$ が共通部分であることがわかります。

(2) $A \cup B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の和集合を表します。つまり、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$0 < x < 2$ または $1 \leq x \leq 4$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$0 < x < 2$ と $1 \leq x \leq 4$ を数直線上に図示すると、$0 < x \leq 4$ が和集合であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x \mid 1 \leq x < 2, x は実数\}$

(2) $A \cup B = \{x \mid 0 < x \leq 4, x は実数\}$