与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+1}$ と初期条件 $a_1 = 2$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+1}$ と初期条件 $a_1 = 2$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式の逆数をとります。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+1}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} b_n$

これは等差数列に変形できます。

$b_{n+1} - 1 = \frac{1}{2} b_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (b_n - 1)$

したがって、$b_n - 1$ は初項 $b_1 - 1 = \frac{1}{a_1} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列です。

$b_n - 1 = (-\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^n$

$b_n = 1 - (\frac{1}{2})^n$

$a_n = \frac{1}{b_n}$ なので、

$a_n = \frac{1}{1 - (\frac{1}{2})^n}$

$a_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^n}} = \frac{2^n}{2^n - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2^n}{2^n - 1}$