ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ に移った。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ に移った。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ を $x$軸に関して対称移動する前の状態に戻す。$x$軸に関して対称移動するということは、$y$ の符号を反転させることなので、$y = x^2 - 6x + 7$ を $x$軸に関して対称移動すると、$-y = x^2 - 6x + 7$ となり、これは $y = -x^2 + 6x - 7$ となる。

次に、この放物線を平行移動する前の状態に戻す。$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動した結果が $y = -x^2 + 6x - 7$ なので、逆に $x$軸方向に $+1$, $y$軸方向に $+3$ だけ平行移動すればよい。これは、$x$を$x-1$に、$y$を$y-3$に置き換えることで実現できる。

$y = -x^2 + 6x - 7$ の $x$ を $x-1$ に、$y$ を $y-3$ に置き換えると、

$y - 3 = -(x-1)^2 + 6(x-1) - 7$

$y - 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 6x - 6 - 7$

$y - 3 = -x^2 + 2x - 1 + 6x - 13$

$y - 3 = -x^2 + 8x - 14$

$y = -x^2 + 8x - 11$

したがって、もとの放物線の方程式は $y = -x^2 + 8x - 11$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 8x - 11$