数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3}(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考えます。

$a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 1$ を変形すると、

$a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 1$

$\alpha = \frac{1}{3} \alpha + 1$ を満たす $\alpha$ を探します。

$\frac{2}{3}\alpha = 1$ より、$\alpha = \frac{3}{2}$ です。

したがって、漸化式は

$a_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} (a_n - \frac{3}{2})$

と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - \frac{3}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n$ となります。

これは数列 $\{b_n\}$ が公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であることを示しています。

$b_1 = a_1 - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ なので、

$b_n = (-\frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1}$

となります。

よって、$a_n = b_n + \frac{3}{2}$ より、

$a_n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{3}{2}$

$a_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$