線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ があり、直線 $y = x$ 上の点は2倍に拡大され、直線 $y = -x$ 上の点は変化しない。この線形変換を表す2次正方行列を求める。

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ があり、直線 $y = x$ 上の点は2倍に拡大され、直線 $y = -x$ 上の点は変化しない。この線形変換を表す2次正方行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、線形変換の性質から、基底ベクトルの行き先を考えることが重要です。ここでは、直線 $y=x$ と $y=-x$ 上のベクトルを基底として利用します。

ベクトル $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は直線 $y=x$ 上にあり、このベクトルは線形変換によって2倍されるので、

$T(\vec{v_1}) = 2\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

ベクトル $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は直線 $y=-x$ 上にあり、このベクトルは線形変換によって変化しないので、

$T(\vec{v_2}) = \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、標準基底 $\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の線形結合で表します。

$\vec{e_1} = a\vec{v_1} + b\vec{v_2}$ と $\vec{e_2} = c\vec{v_1} + d\vec{v_2}$ を満たす $a, b, c, d$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ より、

$a + b = 1$

$a - b = 0$

これを解くと、$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$ となります。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ より、

$c + d = 0$

$c - d = 1$

これを解くと、$c = \frac{1}{2}, d = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\vec{e_1} = \frac{1}{2}\vec{v_1} + \frac{1}{2}\vec{v_2}$

$\vec{e_2} = \frac{1}{2}\vec{v_1} - \frac{1}{2}\vec{v_2}$

ここで、線形変換 $T$ を適用すると、

$T(\vec{e_1}) = \frac{1}{2}T(\vec{v_1}) + \frac{1}{2}T(\vec{v_2}) = \frac{1}{2}(2\vec{v_1}) + \frac{1}{2}\vec{v_2} = \vec{v_1} + \frac{1}{2}\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

$T(\vec{e_2}) = \frac{1}{2}T(\vec{v_1}) - \frac{1}{2}T(\vec{v_2}) = \frac{1}{2}(2\vec{v_1}) - \frac{1}{2}\vec{v_2} = \vec{v_1} - \frac{1}{2}\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

求める2次正方行列は、各列が $T(\vec{e_1})$ と $T(\vec{e_2})$ である行列になります。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$