等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が8、第7項が20である。このとき、初項、公差、一般項 $a_n$、および $\sum_{k=1}^{20} a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が8、第7項が20である。このとき、初項、公差、一般項 $a_n$、および $\sum_{k=1}^{20} a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、

第3項は8なので、$a_3 = a + 2d = 8$

第7項は20なので、$a_7 = a + 6d = 20$

これらの連立方程式を解く。

$a + 6d = 20$

$a + 2d = 8$

上の式から下の式を引くと、

$4d = 12$

$d = 3$

これを $a + 2d = 8$ に代入すると、

$a + 2(3) = 8$

$a + 6 = 8$

$a = 2$

したがって、初項は2、公差は3である。

一般項は、$a_n = a + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

$\sum_{k=1}^{20} a_k = \sum_{k=1}^{20} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{20} k - \sum_{k=1}^{20} 1 = 3 \cdot \frac{20(20+1)}{2} - 20 = 3 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} - 20 = 3 \cdot 10 \cdot 21 - 20 = 630 - 20 = 610$

3. 最終的な答え

初項は2

公差は3

一般項は $a_n = 3n - 1$

$\sum_{k=1}^{20} a_k = 610$