数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 1}$ と初期値 $a_1 = 2$ で定義されているとき、第5項 $a_5$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 1}$ と初期値 $a_1 = 2$ で定義されているとき、第5項 $a_5$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式を使って、順番に $a_2, a_3, a_4, a_5$ を計算していく。

まず、$n=1$ を代入すると

$a_2 = \frac{2a_1}{a_1 + 1} = \frac{2(2)}{2 + 1} = \frac{4}{3}$

次に、$n=2$ を代入すると

$a_3 = \frac{2a_2}{a_2 + 1} = \frac{2(\frac{4}{3})}{\frac{4}{3} + 1} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{8}{7}$

次に、$n=3$ を代入すると

$a_4 = \frac{2a_3}{a_3 + 1} = \frac{2(\frac{8}{7})}{\frac{8}{7} + 1} = \frac{\frac{16}{7}}{\frac{15}{7}} = \frac{16}{15}$

最後に、$n=4$ を代入すると

$a_5 = \frac{2a_4}{a_4 + 1} = \frac{2(\frac{16}{15})}{\frac{16}{15} + 1} = \frac{\frac{32}{15}}{\frac{31}{15}} = \frac{32}{31}$

3. 最終的な答え

$a_5 = \frac{32}{31}$