第2項が12、第5項が768となる公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

第2項が12、第5項が768となる公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とおく。ただし、$a$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、

$a_2 = ar = 12$

$a_5 = ar^4 = 768$

これらの式から $a$ と $r$ を求める。

$ar^4 = 768$ を $ar = 12$ で割ると、

$\frac{ar^4}{ar} = \frac{768}{12}$

$r^3 = 64$

$r = 4$

$ar = 12$ に $r = 4$ を代入すると、

$4a = 12$

$a = 3$

したがって、初項は $a = 3$、公比は $r = 4$ である。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

$S_n = \frac{3(4^n - 1)}{4-1}$

$S_n = \frac{3(4^n - 1)}{3}$

$S_n = 4^n - 1$

3. 最終的な答え

$4^n - 1$