行列 $A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ を対角化せよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ を対角化せよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{vmatrix} = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0$

$\lambda = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{4\cos^2\theta - 4}}{2} = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos\theta \pm i\sin\theta$

よって、固有値は $\lambda_1 = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$ と $\lambda_2 = \cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}$ である。

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = e^{i\theta}$ に対する固有ベクトル $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ を求める。

$(A - \lambda_1 I)\mathbf{v}_1 = 0$

$\begin{bmatrix} \cos\theta - (\cos\theta + i\sin\theta) & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - (\cos\theta + i\sin\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0$

$\begin{bmatrix} -i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & -i\sin\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0$

$-i\sin\theta x - \sin\theta y = 0$

$-ix - y = 0$

$y = -ix$

$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ -ix \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$

$x = 1$ とすると、 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$.

$\lambda_2 = e^{-i\theta}$ に対する固有ベクトル $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ を求める。

$(A - \lambda_2 I)\mathbf{v}_2 = 0$

$\begin{bmatrix} \cos\theta - (\cos\theta - i\sin\theta) & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - (\cos\theta - i\sin\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0$

$\begin{bmatrix} i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & i\sin\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0$

$i\sin\theta x - \sin\theta y = 0$

$ix - y = 0$

$y = ix$

$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ ix \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$

$x = 1$ とすると、 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$.

(3) 対角化する。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{bmatrix}$

$A = PDP^{-1}$

$P^{-1} = \frac{1}{2i}\begin{bmatrix} i & -1 \\ i & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{bmatrix}$

$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{bmatrix} \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} e^{i\theta} & e^{-i\theta} \\ -ie^{i\theta} & ie^{-i\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} e^{i\theta}+e^{-i\theta} & ie^{i\theta} - ie^{-i\theta} \\ -ie^{i\theta}+ie^{-i\theta} & e^{i\theta} + e^{-i\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$.

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{bmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{bmatrix}$ とすると、$A = PDP^{-1}$ である。