数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公差 3 の等差数列である。以下の (1) から (4) の値を求めよ。 (1) $\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ (4) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} a_k$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公差 3 の等差数列である。以下の (1) から (4) の値を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} a_k$

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ を計算する。

$a_{2k-1} = 3(2k-1) - 1 = 6k - 3 - 1 = 6k - 4$

$\sum_{k=1}^{n} (6k-4) = 6 \sum_{k=1}^{n} k - 4 \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \frac{n(n+1)}{2} - 4n = 3n(n+1) - 4n = 3n^2 + 3n - 4n = 3n^2 - n = n(3n-1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ を計算する。

$a_k^2 = (3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$

$\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1) = 9 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 9 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{3}{2} n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + n$

$= \frac{3}{2} n (2n^2 + 3n + 1) - 3n^2 - 3n + n$

$= 3n^3 + \frac{9}{2} n^2 + \frac{3}{2} n - 3n^2 - 2n$

$= 3n^3 + \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2} n = \frac{1}{2} n (6n^2 + 3n - 1)$

よって、$\frac{6n^3 + 3n^2 - n}{2} = 3n^3 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ を計算する。

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(3k-1)(3(k+1)-1)} = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right) = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2 - 2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \frac{3n}{2(3n+2)} = \frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} a_k$ を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} (3k-1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1-2^n}{1-2} = 2^n - 1$

$S = \sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1} = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n 2^{n-1}$

$2S = 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n 2^{n}$

$S - 2S = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} - n 2^n = \frac{1-2^n}{1-2} - n 2^n = 2^n - 1 - n 2^n$

$-S = 2^n - 1 - n 2^n$

$S = (n-1)2^n + 1$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} (3k-1) = 3((n-1)2^n + 1) - (2^n - 1) = 3(n-1)2^n + 3 - 2^n + 1 = (3n-3-1)2^n + 4 = (3n-4)2^n + 4$

3. 最終的な答え

(1) ア：3, イ：1

(2) ウ：3, エ：3, オ：2, カ：1, キ：2

(3) ク：1, ケ：4,

(4) コ：3, サ：4, シ：4