数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = -161$, $a_{n+1} = 2a_n + 81n$ を満たします。階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義します。 (1) $b_1$ を求め、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表し、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求め、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (2) $a_n$ を最小とする自然数 $n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = -161$, $a_{n+1} = 2a_n + 81n$ を満たします。階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義します。

(1) $b_1$ を求め、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表し、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求め、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(2) $a_n$ を最小とする自然数 $n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$b_1$ を計算します。

$b_1 = a_2 - a_1$ であり、$a_2 = 2a_1 + 81(1) = 2(-161) + 81 = -322 + 81 = -241$ です。したがって、

$b_1 = -241 - (-161) = -241 + 161 = -80$ です。

次に、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表します。

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ です。また、$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 81(n+1)$ であり、$a_{n+1} = 2a_n + 81n$ です。

したがって、$b_{n+1} = 2a_{n+1} + 81(n+1) - a_{n+1} = a_{n+1} + 81(n+1)$ です。

$a_{n+1} = b_n + a_n$ なので、$b_{n+1} = b_n + a_n + 81(n+1)$ です。

$a_{n+1} = 2a_n + 81n$ なので、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2a_n + 81n - a_n = a_n + 81n$ より、$a_n = b_n - 81n$ です。

$a_{n+1} = b_{n+1} - 81(n+1)$ なので、$a_{n+1} = 2a_n + 81n$ に代入すると、$b_{n+1} - 81(n+1) = 2(b_n - 81n) + 81n$ より、$b_{n+1} = 2b_n - 162n + 81n + 81n + 81 = 2b_n + 81$ です。

数列 $\{b_n\}$ は、$b_{n+1} = 2b_n + 81$, $b_1 = -80$ を満たす数列です。

$b_{n+1} + 81 = 2(b_n + 81)$ と変形できるので、数列 $\{b_n + 81\}$ は初項 $b_1 + 81 = -80 + 81 = 1$, 公比 2 の等比数列です。

したがって、$b_n + 81 = 1 \cdot 2^{n-1}$ より、$b_n = 2^{n-1} - 81$ です。

次に、$a_n$ を求めます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -161 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^{k-1} - 81) = -161 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} 81$

$= -161 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} - 81(n-1) = -161 + 2^{n-1} - 1 - 81n + 81 = 2^{n-1} - 81n - 81$ です。

(2)

$a_n$ が最小となる $n$ を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n = 2^{n-1} - 81$ より、$b_n < 0$ のとき、$a_{n+1} < a_n$ であり、$b_n > 0$ のとき、$a_{n+1} > a_n$ です。

$2^{n-1} - 81 < 0$ のとき、$2^{n-1} < 81$ であり、$2^{n-1} > 81$ のとき、$a_n$ は増加します。

$2^6 = 64$ であり、$2^7 = 128$ であるため、$n-1 = 6$ のとき $2^{n-1} < 81$ であり、$n-1 = 7$ のとき $2^{n-1} > 81$ となります。

したがって、$n-1 \le 6$, つまり $n \le 7$ のとき $b_n < 0$ であり、$n-1 \ge 7$, つまり $n \ge 8$ のとき $b_n > 0$ です。

よって、$n = 8$ のとき、$a_n$ は最小となります。

3. 最終的な答え

(1)

$b_1 = -80$

$b_{n+1} = 2b_n + 81$

$b_n = 2^{n-1} - 81$

$a_n = 2^{n-1} - 81n - 81$

(2)

$n = 8$