(1) ① 2次方程式 $x^2 + ax - 12 = 0$ の解の一つが $-2$ であるとき、$a$ の値を求める。 ② もう一つの解を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $x = -3$ と $x = \frac{1}{2}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 - x - n = 0$ の2つの解がともに整数となるような自然数 $n$ がある。$0 < n \le 100$ のとき、問題にあてはまる $n$ は何個あるか求める。

1. 問題の内容

(1)

① 2次方程式 $x^2 + ax - 12 = 0$ の解の一つが $-2$ であるとき、$a$ の値を求める。

② もう一つの解を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $x = -3$ と $x = \frac{1}{2}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - x - n = 0$ の2つの解がともに整数となるような自然数 $n$ がある。$0 < n \le 100$ のとき、問題にあてはまる $n$ は何個あるか求める。

2. 解き方の手順

(1)

① 解の一つが $x = -2$ であるので、これを $x^2 + ax - 12 = 0$ に代入する。

$(-2)^2 + a(-2) - 12 = 0$

$4 - 2a - 12 = 0$

$-2a = 8$

$a = -4$

② $x^2 - 4x - 12 = 0$ を解く。

$(x - 6)(x + 2) = 0$

$x = 6, -2$

したがって、もう一つの解は $6$ である。

(2)

2つの解が $x = -3$ と $x = \frac{1}{2}$ であるので、解と係数の関係より

$-a = -3 + \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$

$a = \frac{5}{2}$

$b = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

(3)

$x^2 - x - n = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4n}}{2}$

解が整数となるためには、$1 + 4n$ が平方数でなければならない。

$1 + 4n = k^2$ (kは整数)とおく。

$4n = k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1)$

$n = \frac{(k-1)(k+1)}{4}$

$0 < n \le 100$ より、 $0 < \frac{(k-1)(k+1)}{4} \le 100$

$0 < (k-1)(k+1) \le 400$

$k$ は奇数でなければならない。 ($k-1$と$k+1$は偶数である必要があるため。)

$k = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ について $n$ を計算する。

$k = 3$ のとき $n = \frac{2 \cdot 4}{4} = 2$

$k = 5$ のとき $n = \frac{4 \cdot 6}{4} = 6$

$k = 7$ のとき $n = \frac{6 \cdot 8}{4} = 12$

$k = 9$ のとき $n = \frac{8 \cdot 10}{4} = 20$

$k = 11$ のとき $n = \frac{10 \cdot 12}{4} = 30$

$k = 13$ のとき $n = \frac{12 \cdot 14}{4} = 42$

$k = 15$ のとき $n = \frac{14 \cdot 16}{4} = 56$

$k = 17$ のとき $n = \frac{16 \cdot 18}{4} = 72$

$k = 19$ のとき $n = \frac{18 \cdot 20}{4} = 90$

$k = 21$ のとき $n = \frac{20 \cdot 22}{4} = 110 > 100$ なので、$k = 19$ まで。

$n$ は $2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90$ の9個。

3. 最終的な答え

(1) ① $a = -4$

② もう一つの解は $6$

(2) $a = \frac{5}{2}, b = -\frac{3}{2}$

(3) $9$個