放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の考え方から、移動後の放物線は、移動前の放物線の式 $y = ax^2 + bx + c$ の $x$ を $x-1$ に、$y$ を $y+2$ に置き換えることで得られます。

したがって、移動後の放物線の方程式は次のようになります。

$y + 2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

$y = a(x-1)^2 + b(x-1) + c - 2$

これを展開して整理すると、

$y = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c - 2$

$y = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c - 2$

$y = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c - 2)$

これが、$y = -2x^2 + 3x - 1$ と等しいので、各項の係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a = -2$

$-2a + b = 3$

$a - b + c - 2 = -1$

$a = -2$ を $-2a + b = 3$ に代入すると、

$-2(-2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

$a = -2$ と $b = -1$ を $a - b + c - 2 = -1$ に代入すると、

$-2 - (-1) + c - 2 = -1$

$-2 + 1 + c - 2 = -1$

$-3 + c = -1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -1$

$c = 2$