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与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $\frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)}$

代数学部分分数分解式の計算分数式
2025/6/29

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。
2(a−1)(a+1)+2(a+1)(a+3)+2(a+3)(a+5)\frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)}

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用します。
2(a−1)(a+1)\frac{2}{(a-1)(a+1)} は、1a−1−1a+1\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} と分解できます。なぜなら、
1a−1−1a+1=(a+1)−(a−1)(a−1)(a+1)=2(a−1)(a+1)\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{(a+1) - (a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{(a-1)(a+1)}
同様に、
2(a+1)(a+3)=1a+1−1a+3\frac{2}{(a+1)(a+3)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3}
2(a+3)(a+5)=1a+3−1a+5\frac{2}{(a+3)(a+5)} = \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5}
したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。
1a−1−1a+1+1a+1−1a+3+1a+3−1a+5\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5}
この式を整理すると、−1a+1-\frac{1}{a+1}, −1a+3-\frac{1}{a+3}, 1a+1\frac{1}{a+1}, 1a+3\frac{1}{a+3}が打ち消しあい、
1a−1−1a+5\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+5}
となります。
次に、これを計算します。
1a−1−1a+5=(a+5)−(a−1)(a−1)(a+5)=a+5−a+1(a−1)(a+5)=6(a−1)(a+5)\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+5} = \frac{(a+5) - (a-1)}{(a-1)(a+5)} = \frac{a+5-a+1}{(a-1)(a+5)} = \frac{6}{(a-1)(a+5)}

3. 最終的な答え

6(a−1)(a+5)\frac{6}{(a-1)(a+5)}

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