$xyz \neq 0$、 $2^x = 5^y = 10^z$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}$ を証明する。

1. 問題の内容

$xyz \neq 0$、 $2^x = 5^y = 10^z$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = 5^y = 10^z$ より、

$2 = (10^z)^{\frac{1}{x}} = 10^{\frac{z}{x}}$ ... (1)

$5 = (10^z)^{\frac{1}{y}} = 10^{\frac{z}{y}}$ ... (2)

(1)と(2)の両辺をそれぞれ掛け合わせると、

$2 \times 5 = 10^{\frac{z}{x}} \times 10^{\frac{z}{y}}$

$10 = 10^{\frac{z}{x} + \frac{z}{y}}$

両辺の指数を比較すると、

$1 = \frac{z}{x} + \frac{z}{y}$

両辺を$z$で割ると、$z \neq 0$より、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

両辺に2をかけると、

$\frac{2}{z} = \frac{2}{x} + \frac{2}{y}$

...間違い。

$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$を変形して、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$

となる。問題文は$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}$となっている。

与えられた式を確認すると、$2^x = 5^y = 10^z$とあり、問題文がおかしい。$2^x = 5^y = 10^z$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$になる。

問題文が$2^x = 5^y = 10^{2z}$であれば、

$2 = (10^{2z})^{\frac{1}{x}} = 10^{\frac{2z}{x}}$ ... (1)

$5 = (10^{2z})^{\frac{1}{y}} = 10^{\frac{2z}{y}}$ ... (2)

(1)と(2)の両辺をそれぞれ掛け合わせると、

$2 \times 5 = 10^{\frac{2z}{x}} \times 10^{\frac{2z}{y}}$

$10 = 10^{\frac{2z}{x} + \frac{2z}{y}}$

両辺の指数を比較すると、

$1 = \frac{2z}{x} + \frac{2z}{y}$

両辺を$2z$で割ると、$z \neq 0$より、

$\frac{1}{2z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

というわけで$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2z}$になる。

これでは問題文にある$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}$を証明できない。

与えられた$2^x = 5^y = 10^z$から、$xy \neq 0$を仮定して$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{2}{z}$を証明することはできない。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}$を証明することはできません。$2^x = 5^y = 10^z$ならば、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$が成り立ちます。