$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $\tan(\alpha + \beta)$ (2) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $\tan(\alpha + \beta)$

(2) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$

2. 解き方の手順

(1) $\tan(\alpha + \beta)$ を求める。

タンジェントの加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

$\tan \alpha = 1$ と $\tan \beta = 2$ を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$$

(2) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ を求める。

タンジェントの加法定理より、

$$\tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$$

$\tan(\alpha + \beta) = -3$ と $\tan \gamma = 3$ を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{-3 + 3}{1 - (-3) \cdot 3} = \frac{0}{1 + 9} = \frac{0}{10} = 0$$

3. 最終的な答え

(1) $\tan(\alpha + \beta) = -3$

(2) $\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 0$