$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $\tan (\alpha + \beta)$ (2) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $\tan (\alpha + \beta)$

(2) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$

2. 解き方の手順

(1) $\tan (\alpha + \beta)$ を求める。

$\tan (\alpha + \beta)$ の加法定理を用いる。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

与えられた値を代入すると、

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

(2) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$ を求める。

$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = \tan ((\alpha + \beta) + \gamma)$ と考え、$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ の加法定理を用いる。

$A = \alpha + \beta, B = \gamma$ とすると、

$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan (\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan (\alpha + \beta) \tan \gamma}$

$\tan (\alpha + \beta) = -3, \tan \gamma = 3$ を代入すると、

$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = \frac{-3 + 3}{1 - (-3) \cdot 3} = \frac{0}{1 + 9} = \frac{0}{10} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\tan (\alpha + \beta) = -3$

(2) $\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$