$k$ を定数とする。３つの直線 $x + 2y + 5 = 0$ (1), $3x - 2y + 7 = 0$ (2), $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$ (3) について、以下の問いに答えよ。 (1) 直線(1)と直線(2)の交点 $A$ の座標を求めよ。 (2) 直線(3)が $k$ の値にかかわらず通る点 $B$ の座標を求めよ。 (3) ３つの直線(1), (2), (3) が三角形をつくらないときの $k$ の値を求めよ。 (4) 直線(1)と直線(3)が直交するときの $k$ の値を求め、直線(1)に関して点 $B$ と対称な点 $C$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。３つの直線 $x + 2y + 5 = 0$ (1), $3x - 2y + 7 = 0$ (2), $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$ (3) について、以下の問いに答えよ。

(1) 直線(1)と直線(2)の交点 $A$ の座標を求めよ。

(2) 直線(3)が $k$ の値にかかわらず通る点 $B$ の座標を求めよ。

(3) ３つの直線(1), (2), (3) が三角形をつくらないときの $k$ の値を求めよ。

(4) 直線(1)と直線(3)が直交するときの $k$ の値を求め、直線(1)に関して点 $B$ と対称な点 $C$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線(1)と直線(2)の交点 $A$ を求める。

$x + 2y + 5 = 0$ (1)

$3x - 2y + 7 = 0$ (2)

(1) + (2) より $4x + 12 = 0$, よって $x = -3$。

$x = -3$ を (1) に代入すると、$-3 + 2y + 5 = 0$, よって $2y = -2$, したがって $y = -1$。

よって、交点 $A$ の座標は $(-3, -1)$。

(2) 直線(3) $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$ を $k$ について整理する。

$k(x + y + 3) + y - 4 = 0$

$k$ の値にかかわらずこの式が成り立つためには、

$x + y + 3 = 0$ かつ $y - 4 = 0$ である必要がある。

$y = 4$ を $x + y + 3 = 0$ に代入すると $x + 4 + 3 = 0$, よって $x = -7$。

よって、直線(3)が $k$ の値にかかわらず通る点 $B$ の座標は $(-7, 4)$。

(3) 3直線(1), (2), (3) が三角形をつくらないときとは、

(i) 3直線が1点で交わる場合、

(ii) 少なくとも2直線が平行な場合

である。

(i) 3直線が1点で交わる場合

直線(1)と(2)の交点 $A(-3, -1)$ を直線(3)が通るときを考える。

$k(-3) + (k+1)(-1) + 3k - 4 = 0$

$-3k - k - 1 + 3k - 4 = 0$

$-k - 5 = 0$

$k = -5$

(ii) 少なくとも2直線が平行な場合

直線(1): $x + 2y + 5 = 0$ より $y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

直線(2): $3x - 2y + 7 = 0$ より $y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

直線(3): $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$ より $(k+1)y = -kx - 3k + 4$

$k+1 \neq 0$ のとき $y = -\frac{k}{k+1}x - \frac{3k-4}{k+1}$

直線(1)と直線(3)が平行なとき、$-\frac{1}{2} = -\frac{k}{k+1}$ より $k+1 = 2k$, よって $k = 1$

直線(2)と直線(3)が平行なとき、$\frac{3}{2} = -\frac{k}{k+1}$ より $3k + 3 = -2k$, よって $5k = -3$, したがって $k = -\frac{3}{5}$

$k = -1$ のとき、直線(3)は $-x + 1 = 0$ より $x = 1$ となり、直線(1), (2) と平行ではない。

したがって、$k = -5, 1, -\frac{3}{5}$

(4) 直線(1)と直線(3)が直交するとき、

(1)の傾きは $-\frac{1}{2}$

(3)の傾きは $-\frac{k}{k+1}$

直交する条件は、$(-\frac{1}{2})(-\frac{k}{k+1}) = -1$

$\frac{k}{2(k+1)} = -1$

$k = -2k - 2$

$3k = -2$

$k = -\frac{2}{3}$

$k = -\frac{2}{3}$ のとき、点 $B(-7, 4)$ の直線(1): $x + 2y + 5 = 0$ に関する対称点 $C(x', y')$ を求める。

直線 $BC$ は直線(1)に垂直なので、傾きは 2 である。

直線 $BC$ の方程式は $y - 4 = 2(x + 7)$, すなわち $y = 2x + 18$。

線分 $BC$ の中点 $(\frac{x'-7}{2}, \frac{y'+4}{2})$ は直線(1)上にあるので、

$\frac{x'-7}{2} + 2(\frac{y'+4}{2}) + 5 = 0$

$x' - 7 + 2y' + 8 + 10 = 0$

$x' + 2y' + 11 = 0$

また、$y' = 2x' + 18$ なので、

$x' + 2(2x' + 18) + 11 = 0$

$x' + 4x' + 36 + 11 = 0$

$5x' + 47 = 0$

$x' = -\frac{47}{5}$

$y' = 2(-\frac{47}{5}) + 18 = -\frac{94}{5} + \frac{90}{5} = -\frac{4}{5}$

よって、$C(-\frac{47}{5}, -\frac{4}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $A(-3, -1)$

(2) $B(-7, 4)$

(3) $k = -5, 1, -\frac{3}{5}$

(4) $k = -\frac{2}{3}$, $C(-\frac{47}{5}, -\frac{4}{5})$