不等式 $|x-2| + |x| < x + 1$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $|x-2| + |x| < x + 1$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解く。

場合分けの基準は絶対値の中身が正になるか負になるかである。

絶対値記号の中身が0になる $x$ の値は $x=0$ と $x=2$ なので、

$x<0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x$ の3つの場合に分けて考える。

(1) $x < 0$ のとき

$x-2 < 0$ かつ $x < 0$ なので、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ かつ $|x| = -x$ である。

したがって、与えられた不等式は $-x+2 + (-x) < x+1$ となる。

これを解くと、 $-2x+2 < x+1$, $-3x < -1$, $x > \frac{1}{3}$ となる。

しかし、これは$x<0$を満たさないので、この場合は解なし。

(2) $0 \le x < 2$ のとき

$x-2 < 0$ かつ $x \ge 0$ なので、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ かつ $|x| = x$ である。

したがって、与えられた不等式は $-x+2 + x < x+1$ となる。

これを解くと、 $2 < x+1$, $1 < x$ となる。

$0 \le x < 2$ と $1 < x$ の共通範囲は $1 < x < 2$ である。

(3) $2 \le x$ のとき

$x-2 \ge 0$ かつ $x \ge 0$ なので、 $|x-2| = x-2$ かつ $|x| = x$ である。

したがって、与えられた不等式は $x-2 + x < x+1$ となる。

これを解くと、 $2x-2 < x+1$, $x < 3$ となる。

$2 \le x$ と $x < 3$ の共通範囲は $2 \le x < 3$ である。

(1), (2), (3) より、解は $1 < x < 2$ または $2 \le x < 3$ である。

これらを合わせると $1 < x < 3$ となる。

3. 最終的な答え

$1 < x < 3$