与えられた対数計算を実行し、その結果を求める問題です。式は次の通りです。 $\frac{1}{2}\log_{5}{3} + 3\log_{5}{\sqrt{2}} - \log_{5}{\sqrt{24}}$

1. 問題の内容

与えられた対数計算を実行し、その結果を求める問題です。式は次の通りです。

$\frac{1}{2}\log_{5}{3} + 3\log_{5}{\sqrt{2}} - \log_{5}{\sqrt{24}}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

1. $\log_{a}{x^n} = n\log_{a}{x}$ の性質を使って、係数を対数の真数部分の指数に移動させます。

$\frac{1}{2}\log_{5}{3} = \log_{5}{3^{\frac{1}{2}}} = \log_{5}{\sqrt{3}}$

$3\log_{5}{\sqrt{2}} = \log_{5}{(\sqrt{2})^3} = \log_{5}{2\sqrt{2}}$

与式は

$\log_{5}{\sqrt{3}} + \log_{5}{2\sqrt{2}} - \log_{5}{\sqrt{24}}$

となります。

2. $\log_{a}{x} + \log_{a}{y} = \log_{a}{xy}$ の性質を使って、足し算になっている対数をまとめます。

$\log_{5}{\sqrt{3}} + \log_{5}{2\sqrt{2}} = \log_{5}{(\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2})} = \log_{5}{2\sqrt{6}}$

与式は

$\log_{5}{2\sqrt{6}} - \log_{5}{\sqrt{24}}$

となります。

3. $\log_{a}{x} - \log_{a}{y} = \log_{a}{\frac{x}{y}}$ の性質を使って、引き算になっている対数をまとめます。

$\log_{5}{2\sqrt{6}} - \log_{5}{\sqrt{24}} = \log_{5}{\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}}}$

となります。

4. $\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}}$ を簡約化します。

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{4 \cdot 6}} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = 1$

したがって、

$\log_{5}{1}$

となります。

5. $\log_{a}{1} = 0$ の性質を使って、対数の値を求めます。

$\log_{5}{1} = 0$

3. 最終的な答え

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