3つの数が等比数列をなしており、それらの和が26、各数の2乗の和が364であるとき、この等比数列を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの数が等比数列をなしており、それらの和が26、各数の2乗の和が364であるとき、この等比数列を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列を $a/r$, $a$, $ar$ とおきます。ここで、$a$は数列の中心の数、$r$は公比です。

問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

\begin{align}

\frac{a}{r} + a + ar &= 26 \\

\left(\frac{a}{r}\right)^2 + a^2 + (ar)^2 &= 364

\end{align}

最初の式から、$a$をくくりだすと、

$a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 26$

$a(1 + r + r^2) = 26r$

2番目の式から、$a^2$をくくりだすと、

$a^2(\frac{1}{r^2} + 1 + r^2) = 364$

$a^2(1 + r^2 + r^4) = 364r^2$

ここで、$1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2)$なので、最初の式を2乗して2番目の式で割ると、

$\frac{a^2(1 + r + r^2)^2}{a^2(1 + r^2 + r^4)} = \frac{26^2r^2}{364r^2}$

$\frac{(1 + r + r^2)^2}{(1 + r + r^2)(1 - r + r^2)} = \frac{676}{364}$

$\frac{1 + r + r^2}{1 - r + r^2} = \frac{169}{91} = \frac{13}{7}$

$7(1 + r + r^2) = 13(1 - r + r^2)$

$7 + 7r + 7r^2 = 13 - 13r + 13r^2$

$0 = 6r^2 - 20r + 6$

$0 = 3r^2 - 10r + 3$

$0 = (3r - 1)(r - 3)$

したがって、$r = 3$ または $r = \frac{1}{3}$

$r = 3$ のとき、$a(\frac{1}{3} + 1 + 3) = 26$

$a(\frac{1 + 3 + 9}{3}) = 26$

$a(\frac{13}{3}) = 26$

$a = 6$

数列は $2, 6, 18$

$r = \frac{1}{3}$ のとき、$a(3 + 1 + \frac{1}{3}) = 26$

$a(\frac{9 + 3 + 1}{3}) = 26$

$a(\frac{13}{3}) = 26$

$a = 6$

数列は $18, 6, 2$

3. 最終的な答え

等比数列は $2, 6, 18$ または $18, 6, 2$