与えられた式 $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ を簡単にせよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解き、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ のような形の二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ となることを利用します。

この場合、$a+b = 7$ かつ $ab = 10$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=5$、$b=2$ とすると、$a+b = 5+2 = 7$、$ab = 5 \times 2 = 10$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} + \sqrt{2}$