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画像に写っている2つの問題について、それぞれの分母を有理化して計算する。 問題3: $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ 問題4: $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

代数学有理化平方根式の計算
2025/6/29

1. 問題の内容

画像に写っている2つの問題について、それぞれの分母を有理化して計算する。
問題3: 235+1\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}
問題4: 5+25−2\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}

2. 解き方の手順

問題3: 235+1\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1} の場合
分母を有理化するために、分母の共役な複素数 5−1\sqrt{5}-1 を分子と分母に掛けます。
235+1=23(5−1)(5+1)(5−1)\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}
分母を展開します。
(5+1)(5−1)=(5)2−12=5−1=4(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4
分子を展開します。
23(5−1)=215−232\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}
したがって、
23(5−1)(5+1)(5−1)=215−234=15−32\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{2}
問題4: 5+25−2\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} の場合
分母を有理化するために、分母の共役な複素数 5+2\sqrt{5}+\sqrt{2} を分子と分母に掛けます。
5+25−2=(5+2)(5+2)(5−2)(5+2)\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}
分母を展開します。
(5−2)(5+2)=(5)2−(2)2=5−2=3(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3
分子を展開します。
(5+2)(5+2)=(5+2)2=(5)2+252+(2)2=5+210+2=7+210(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}
したがって、
(5+2)(5+2)(5−2)(5+2)=7+2103\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}

3. 最終的な答え

問題3: 15−32\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}
問題4: 7+2103\frac{7+2\sqrt{10}}{3}

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