与えられた4つの二次関数について、グラフとx軸との共有点の座標を求め、x軸に接するグラフがどれであるかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、グラフとx軸との共有点の座標を求め、x軸に接するグラフがどれであるかを判定します。

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフとx軸の共有点は、$y=0$ となるxの値を求めることで見つけることができます。つまり、$ax^2 + bx + c = 0$ という二次方程式を解きます。

この二次方程式の判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いることで、共有点の個数と座標を判断できます。

* $D > 0$ の場合、異なる2つの共有点を持ちます。

* $D = 0$ の場合、1つの共有点を持ち、グラフはx軸に接します。

* $D < 0$ の場合、共有点を持ちません。

それぞれの二次関数について、以下の手順で計算します。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ の場合:

$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解きます。

$(x-3)(x+1) = 0$ より、$x = 3, -1$

したがって、共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-1, 0)$ です。

$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 > 0$ なので、x軸に接しません。

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$ の場合:

$-x^2 + 3x - 1 = 0$ を解きます。

$x^2 - 3x + 1 = 0$ と変形し、解の公式を用いると、$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、共有点の座標は $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$ と $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ です。

$D = (3)^2 - 4(-1)(-1) = 9 - 4 = 5 > 0$ なので、x軸に接しません。

(3) $y = 2x^2 + 4x + 2$ の場合:

$2x^2 + 4x + 2 = 0$ を解きます。

$x^2 + 2x + 1 = 0$ と変形し、$(x+1)^2 = 0$ より、$x = -1$

したがって、共有点の座標は $(-1, 0)$ です。

$D = (4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0$ なので、x軸に接します。

(4) $y = 2x^2 - 5x - 3$ の場合:

$2x^2 - 5x - 3 = 0$ を解きます。

$(2x + 1)(x - 3) = 0$ より、$x = -\frac{1}{2}, 3$

したがって、共有点の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ と $(3, 0)$ です。

$D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 > 0$ なので、x軸に接しません。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標: (3, 0), (-1, 0)

(2) 共有点の座標: $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

(3) 共有点の座標: (-1, 0)

(4) 共有点の座標: $(-\frac{1}{2}, 0)$, (3, 0)

x軸に接するグラフは (3) です。