数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a_{n+1} = a_n + n$ より、$a_{n+1} - a_n = n$ となります。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$$

ここで、$a_1 = 3$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、

$$a_n = 3 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n + 6}{2}$$

この式は $n=1$ のときにも $a_1 = \frac{1^2 - 1 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$ を満たすので、$n \ge 1$ で成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 6}{2}$