与えられた根号を含む式 $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡略化する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた根号を含む式 $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ の形の式を $p \pm q$ の形に変形するには、$a = p^2 + q^2$ かつ $b = 4p^2q^2$ である必要があります。

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を $\sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}-\sqrt{y}$の形に変形できると仮定します。

$12-6\sqrt{3} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$

$12-6\sqrt{3} = x+y-2\sqrt{xy}$

$x+y=12$

$4xy = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$

$xy=27$

$x,y$は

$t^2 - 12t + 27 = 0$

の解なので

$(t-3)(t-9)=0$

$t=3, 9$

なので$x=9, y=3$となります。よって

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{3}$