$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解く。

2. 解き方の手順

$\sin\theta + \cos\theta = 1$ を変形するために、左辺を合成する。

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ である。

したがって、

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ここで、$t = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ となる。

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ は、

$t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, 2\pi + \frac{\pi}{4}$

したがって、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

念のため、$t = 2\pi + \frac{\pi}{4}$ の場合も考慮する。

$\theta + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$\theta = 2\pi$ となるが、$0 \le \theta < 2\pi$ であるので、これは解ではない。

よって、解は $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$