数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は $a_{n+1} - a_n = 2^n$ と表せるので、階差数列の問題として解くことができます。

まず、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

が成り立ちます。与えられた漸化式から $a_{k+1} - a_k = 2^k$ なので、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

となります。初項 $a_1 = 3$ を代入すると、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

となります。$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項 $2$, 公比 $2$, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

となります。したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$

となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 1 = 3$ となり、与えられた $a_1 = 3$ と一致します。

したがって、$a_n = 2^n + 1$ は全ての $n$ に対して成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 1$