(1) 次の計算をせよ。 ① $4^4 \times 4^{-2}$ ② $5^{\frac{3}{2}} \div 5^{-\frac{1}{2}}$ ③ $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{2}}$ ④ $\sqrt[3]{54} + \sqrt{2} - \sqrt[3]{16}$ (2) 次の値を求めよ。 ① $81^{\frac{1}{4}}$ ② $\sqrt[3]{-125}$ (3) $2, \sqrt{8}, \sqrt[3]{32}$ の3つの数の大小を不等号を用いて表せ。 (4) 次の方程式、不等式を解け。 ① $3^x = 27$ ② $(\frac{1}{8})^x \le 32$

1. 問題の内容

(1) 次の計算をせよ。

① $4^4 \times 4^{-2}$

② $5^{\frac{3}{2}} \div 5^{-\frac{1}{2}}$

③ $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{2}}$

④ $\sqrt[3]{54} + \sqrt{2} - \sqrt[3]{16}$

(2) 次の値を求めよ。

① $81^{\frac{1}{4}}$

② $\sqrt[3]{-125}$

(3) $2, \sqrt{8}, \sqrt[3]{32}$ の3つの数の大小を不等号を用いて表せ。

(4) 次の方程式、不等式を解け。

① $3^x = 27$

② $(\frac{1}{8})^x \le 32$

2. 解き方の手順

(1)

① 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いる。

$4^4 \times 4^{-2} = 4^{4-2} = 4^2 = 16$

② 指数法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いる。

$5^{\frac{3}{2}} \div 5^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})} = 5^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^2 = 25$

③ $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{32}{2}} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2\sqrt[3]{2}$

④ $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{54} + \sqrt{2} - \sqrt[3]{16} = 3\sqrt[3]{2} + \sqrt{2} - 2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2} + \sqrt{2}$

(2)

① $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \times \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$

② $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$

(3)

$2 = \sqrt{4}$

$\sqrt{8}$

$\sqrt[3]{32} = \sqrt[6]{32^2} = \sqrt[6]{1024}$

$\sqrt{4} = \sqrt[6]{4^3} = \sqrt[6]{64}$

$\sqrt{8} = \sqrt[6]{8^3} = \sqrt[6]{512}$

よって、$\sqrt[6]{64} < \sqrt[6]{512} < \sqrt[6]{1024}$

したがって、$2 < \sqrt{8} < \sqrt[3]{32}$

(4)

① $3^x = 27 = 3^3$

よって、$x = 3$

② $(\frac{1}{8})^x \le 32$

$(2^{-3})^x \le 2^5$

$2^{-3x} \le 2^5$

$-3x \le 5$

$x \ge -\frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

① 16

② 25

③ $2\sqrt[3]{2}$

④ $\sqrt[3]{2} + \sqrt{2}$

(2)

① 3

② -5

(3) $2 < \sqrt{8} < \sqrt[3]{32}$

(4)

① $x = 3$

② $x \ge -\frac{5}{3}$