与えられた複素数の計算問題と、複素数の等式を満たす実数 $x, y$ の値を求める問題です。 具体的には、以下の4つの計算と1つの等式に関する問題があります。 (1) $(1+2i)(3-i)$ (2) $\frac{1+i}{1-i}$ (3) $1+3i-\frac{1}{6i}$ (4) $-\sqrt{-2}\sqrt{-3}$ (5) $(2x+5y)+(y-3x)i=8+5i$ を満たす実数 $x,y$ を求める

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題と、複素数の等式を満たす実数 $x, y$ の値を求める問題です。

具体的には、以下の4つの計算と1つの等式に関する問題があります。

(1) $(1+2i)(3-i)$

(2) $\frac{1+i}{1-i}$

(3) $1+3i-\frac{1}{6i}$

(4) $-\sqrt{-2}\sqrt{-3}$

(5) $(2x+5y)+(y-3x)i=8+5i$ を満たす実数 $x,y$ を求める

2. 解き方の手順

(1) $(1+2i)(3-i)$ の計算:

分配法則を用いて展開し、$i^2 = -1$ を利用して整理します。

$(1+2i)(3-i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i$

(2) $\frac{1+i}{1-i}$ の計算:

分母の共役複素数を掛けて分母を実数化します。

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$

(3) $1+3i-\frac{1}{6i}$ の計算:

$\frac{1}{i} = -i$ を利用して分母を実数化します。

$1+3i-\frac{1}{6i} = 1+3i-\frac{1}{6i} \cdot \frac{i}{i} = 1+3i - \frac{i}{6i^2} = 1+3i - \frac{i}{6(-1)} = 1+3i + \frac{i}{6} = 1 + \frac{18i+i}{6} = 1 + \frac{19}{6}i$

(4) $-\sqrt{-2}\sqrt{-3}$ の計算:

$\sqrt{-1} = i$ を利用します。

$-\sqrt{-2}\sqrt{-3} = -\sqrt{2}i \cdot \sqrt{3}i = -\sqrt{6}i^2 = -\sqrt{6}(-1) = \sqrt{6}$

(5) $(2x+5y)+(y-3x)i=8+5i$ の等式:

複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しくなります。

$2x+5y = 8$

$y-3x = 5$

この連立方程式を解きます。2つ目の式から $y = 3x+5$ を得ます。

これを1つ目の式に代入すると、

$2x+5(3x+5) = 8$

$2x+15x+25 = 8$

$17x = -17$

$x = -1$

$y = 3(-1)+5 = -3+5 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $5+5i$

(2) $i$

(3) $1 + \frac{19}{6}i$

(4) $\sqrt{6}$

(5) $x=-1, y=2$