与えられた不等式 $|3x-5| < x+1$ を解きなさい。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|3x-5| < x+1$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

(i) $3x-5 \geq 0$ のとき、すなわち $x \geq \frac{5}{3}$ のとき

$|3x-5| = 3x-5$ なので、不等式は

$3x-5 < x+1$

$2x < 6$

$x < 3$

このとき、$\frac{5}{3} \leq x < 3$ です。

(ii) $3x-5 < 0$ のとき、すなわち $x < \frac{5}{3}$ のとき

$|3x-5| = -(3x-5) = -3x+5$ なので、不等式は

$-3x+5 < x+1$

$-4x < -4$

$x > 1$

このとき、$1 < x < \frac{5}{3}$ です。

(i), (ii) より、

$1 < x < 3$

3. 最終的な答え

$1 < x < 3$