与えられた計算問題、値の計算問題、大小比較問題、方程式と不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた計算問題、値の計算問題、大小比較問題、方程式と不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 次の式を計算せよ。

① $4^4 \times 4^{-2} = 4^{4-2} = 4^2 = 16$

② $5^{\frac{3}{2}} \div 5^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})} = 5^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^2 = 25$

③ $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{32}{2}} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2\sqrt[3]{2}$

④ $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{27 \times 2} + \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{8 \times 2} = 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} = (3+1-2)\sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$

(2) 次の値を求めよ。

① $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \times \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$

② $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$

(3) $2, \sqrt[3]{8}, \sqrt[3]{32}$ の3つの数の大小を不等号を用いて表せ。

$2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$

$\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{32}$ より、 $2 < \sqrt[3]{32}$

したがって、$2 = \sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{32}$

(4) 次の方程式、不等式を解け。

① $3^x = 27$

$3^x = 3^3$ より、$x = 3$

② $(\frac{1}{8})^x \leq 32$

$(2^{-3})^x \leq 2^5$

$2^{-3x} \leq 2^5$

$-3x \leq 5$

$x \geq -\frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

① 16

② 25

③ $2\sqrt[3]{2}$

④ $2\sqrt[3]{2}$

(2)

① 3

② -5

(3)

$2 = \sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{32}$

(4)

① $x = 3$

② $x \geq -\frac{5}{3}$