(1) 曲線 $y = \sqrt{2x+3}$ と直線 $y = x-1$ の共有点の $x$ 座標を求めます。 (2) 不等式 $\sqrt{2x+3} > x-1$ を解きます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \sqrt{2x+3}$ と直線 $y = x-1$ の共有点の $x$ 座標を求めます。

(2) 不等式 $\sqrt{2x+3} > x-1$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

曲線と直線の共有点の $x$ 座標を求めるには、$y$ を消去して $x$ について解けばよい。つまり、

$\sqrt{2x+3} = x-1$

両辺を2乗すると、

$2x+3 = (x-1)^2$

$2x+3 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 4x - 2 = 0$

これを解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{6}$

ここで、$x = 2 \pm \sqrt{6}$ が $\sqrt{2x+3} = x-1$ の解であるためには、$x-1 \ge 0$ すなわち $x \ge 1$ である必要がある。

$x = 2+\sqrt{6}$ は $2+\sqrt{6} > 1$ を満たす。

$x = 2-\sqrt{6}$ は $2-\sqrt{6} < 1$ を満たさない ($2-\sqrt{6} \approx 2-2.449 = -0.449$) 。

したがって、求める $x$ 座標は $x = 2+\sqrt{6}$

(2)

不等式 $\sqrt{2x+3} > x-1$ を解く。

$\sqrt{2x+3}$ が定義される条件は、$2x+3 \ge 0$、つまり、$x \ge -\frac{3}{2}$。

i) $x-1 < 0$ すなわち $x < 1$ のとき、$-\frac{3}{2} \le x < 1$ であれば不等式は成立する。

ii) $x-1 \ge 0$ すなわち $x \ge 1$ のとき、両辺を2乗して

$2x+3 > (x-1)^2$

$2x+3 > x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 4x - 2 < 0$

$x^2 - 4x - 2 = 0$ の解は $x = 2 \pm \sqrt{6}$ であったから

$(x - (2-\sqrt{6}))(x - (2+\sqrt{6})) < 0$

$2 - \sqrt{6} < x < 2 + \sqrt{6}$

$x \ge 1$ であるから、$1 \le x < 2 + \sqrt{6}$

i), ii) より、$-\frac{3}{2} \le x < 1$ または $1 \le x < 2+\sqrt{6}$。

したがって、$-\frac{3}{2} \le x < 2+\sqrt{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $2+\sqrt{6}$

(2) $-\frac{3}{2} \le x < 2+\sqrt{6}$