与えられた問題は、以下の通りです。 1. 次の極限を求めよ。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の通りです。

1. 次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

2. 次の関数の極値を求めよ。増減表など極値をとる根拠を書くこと。

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2e^{-2x}$

2. 解き方の手順

1. (1) の極限を求める。

$x \to 0$ のとき、$e^x - \cos x \to 1 - 1 = 0$ かつ $x \to 0$ なので、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{1} = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

1. (2) の極限を求める。

$x \to 0$ のとき、$e^x - e^{-x} - 2x \to 1 - 1 - 0 = 0$ かつ $x - \sin x \to 0 - 0 = 0$ なので、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

$x \to 0$ のとき、$e^x + e^{-x} - 2 \to 1 + 1 - 2 = 0$ かつ $1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$ なので、再びロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

$x \to 0$ のとき、$e^x - e^{-x} \to 1 - 1 = 0$ かつ $\sin x \to 0$ なので、再びロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

1. (3) の極限を求める。

$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} + 0$ のとき、$t \to 0 - 0$ となる。

また、$x = \frac{\pi}{2} - t$ であるから、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x = \lim_{t \to 0 - 0} t \tan (\frac{\pi}{2} - t) = \lim_{t \to 0 - 0} t \cot t = \lim_{t \to 0 - 0} t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0 - 0} \frac{t}{\sin t} \cos t$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるから、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$。

よって、$\lim_{t \to 0 - 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = 1 \cdot 1 = 1$

2. (1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の極値を求める。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x - 1)(x - 3)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1, 3$。

$f''(x) = -6x + 12$

$f''(1) = -6 + 12 = 6 > 0$ より、$x = 1$ で極小値 $f(1) = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$ をとる。

$f''(3) = -18 + 12 = -6 < 0$ より、$x = 3$ で極大値 $f(3) = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$ をとる。

3. (2) $f(x) = x^2e^{-2x}$ の極値を求める。

$f'(x) = 2xe^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x} = (2x - 2x^2)e^{-2x} = 2x(1 - x)e^{-2x}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 1$。

$f''(x) = (2 - 4x)e^{-2x} + (2x - 2x^2)(-2)e^{-2x} = (2 - 4x - 4x + 4x^2)e^{-2x} = (4x^2 - 8x + 2)e^{-2x}$

$f''(0) = (0 - 0 + 2)e^0 = 2 > 0$ より、$x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$ をとる。

$f''(1) = (4 - 8 + 2)e^{-2} = -2e^{-2} < 0$ より、$x = 1$ で極大値 $f(1) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ をとる。

3. 最終的な答え

1. (1) 1

2. (2) 2

3. (3) 1

4. (1) 極大値: 1 (x=3), 極小値: -3 (x=1)

5. (2) 極大値: $e^{-2}$ (x=1), 極小値: 0 (x=0)