与えられた2つの関数について、6次のマクローリン展開を求めます。収束半径は示さなくてもよいです。 (1) $f(x) = \sin x \cos x$ (2) $g(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、6次のマクローリン展開を求めます。収束半径は示さなくてもよいです。

(1) $f(x) = \sin x \cos x$

(2) $g(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$\sin x$のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots$

$= 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots$

$= 2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15} - \dots$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x = x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$

6次の項まで求めるので、$x^6$の項は0となります。

(2) $g(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$のとき、$1 = A(1-2) + B(1-1) \Rightarrow A = -1$

$x = 2$のとき、$1 = A(2-2) + B(2-1) \Rightarrow B = 1$

したがって、

$g(x) = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + \dots$

$\frac{1}{1-\frac{x}{2}} = 1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 + (\frac{x}{2})^5 + (\frac{x}{2})^6 + \dots$

$= 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} + \frac{x^5}{32} + \frac{x^6}{64} + \dots$

$\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + \frac{x^4}{32} + \frac{x^5}{64} + \frac{x^6}{128} + \dots$

したがって、

$g(x) = (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{4})x + (1 - \frac{1}{8})x^2 + (1 - \frac{1}{16})x^3 + (1 - \frac{1}{32})x^4 + (1 - \frac{1}{64})x^5 + (1 - \frac{1}{128})x^6 + \dots$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x + \frac{7}{8}x^2 + \frac{15}{16}x^3 + \frac{31}{32}x^4 + \frac{63}{64}x^5 + \frac{127}{128}x^6 + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x \cos x = x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$

(2) $\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x + \frac{7}{8}x^2 + \frac{15}{16}x^3 + \frac{31}{32}x^4 + \frac{63}{64}x^5 + \frac{127}{128}x^6 + O(x^7)$