与えられた積分 $\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{3x+2}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $x^2(x+1)$ を掛けると、

$3x+2 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$

$3x+2 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2$

$3x+2 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

係数を比較して、次の連立方程式を得ます。

$A+C=0$

$A+B=3$

$B=2$

$B=2$ を $A+B=3$ に代入すると、$A+2=3$ より $A=1$ が得られます。

$A=1$ を $A+C=0$ に代入すると、$1+C=0$ より $C=-1$ が得られます。

したがって、$\frac{3x+2}{x^2(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x+1}$ となります。

積分を計算します。

$\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x+1}\right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx + 2\int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$

$= \ln|x| + 2\left(-\frac{1}{x}\right) - \ln|x+1| + C$

$= \ln|x| - \frac{2}{x} - \ln|x+1| + C$

$= \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| - \frac{2}{x} + C$