与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_1^3 x dx$ (2) $\int_{-1}^2 x^2 dx$ (3) $\int_3^0 2 dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_1^3 x dx$

(2) $\int_{-1}^2 x^2 dx$

(3) $\int_3^0 2 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^3 x dx$ の計算

まず、$x$ の不定積分を求めます。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ (Cは積分定数)

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限での値を計算し、その差を求めます。

$\int_1^3 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

(2) $\int_{-1}^2 x^2 dx$ の計算

まず、$x^2$ の不定積分を求めます。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$ (Cは積分定数)

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限での値を計算し、その差を求めます。

$\int_{-1}^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

(3) $\int_3^0 2 dx$ の計算

まず、$2$ の不定積分を求めます。

$\int 2 dx = 2x + C$ (Cは積分定数)

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限での値を計算し、その差を求めます。

$\int_3^0 2 dx = \left[ 2x \right]_3^0 = 2(0) - 2(3) = 0 - 6 = -6$

3. 最終的な答え

(1) $\int_1^3 x dx = 4$

(2) $\int_{-1}^2 x^2 dx = 3$

(3) $\int_3^0 2 dx = -6$